0 引言

随着时代的不断快速发展，钢混组合梁^[1-4]越来越多的被应用于现代桥梁建设当中。针对于组合梁的静力性能的研究，已有大量的学者做了试验研究，也有了较为准确的性能分析，有了较为完善的理论体系。但是对于其疲劳性能，进行的试验研究过少，仅仅停留在试验数据的拟合上，并且组合梁疲劳性能^[5-6]设计和静力性能设计是完全分离的，没有考虑到两者之间的相互影响。目前对于组合梁的疲劳性能设计，一般都是将其静力性能假定为初始值，即结构的刚度、强度和稳定性都为静力设计的初始值，只有组合梁在到达疲劳寿命时，结构的静力性能才会突然变化，从而使得结构发生疲劳破坏。通常情况下，在组合梁疲劳破坏时，钢梁下翼缘会出现裂缝且快速扩展，使得整体结构无法继续承受疲劳荷载，随即发生脆性破坏，组合梁破坏前没有明显的征兆。

聂建国^[7]通过大量的钢混组合梁结构的静力和疲劳试验，对组合梁的滑移变形有了一定的深入研究。通过疲劳作用下的滑移试验，研究了组合梁考虑滑移效应的组合梁疲劳寿命的计算方法。建立了组合梁考虑滑移的疲劳作用下的变形公式，该计算公式能够准确的分析组合梁在疲劳荷载作用下的挠度变化情况。

谭清泉^[8]通过建立组合梁的“非连续传力”模型，提出了计算组合梁跨中挠度的方法，该方法与传统的换算截面法相比，所得结果与数值模拟计算结果和实测值吻合的更好，但未考虑疲劳荷载的影响，适用于静载下的挠度计算。

李文贤^[9]基于Timoshenko梁的广义位移假定，考虑了交界面的滑移和剪切变形两个方面对组合梁受力的影响，并通过理论计算的方式，构建了组合梁简支形式的计算模型。并通过大量的试验研究，得到了与组合梁跨中变形数据较为吻合得计算公式。

王宇航^[10]通过研究组合梁的变形规律，通过大量试验，采用换算截面的方法，提出了组合梁疲劳加载变形计算公式。计算结果表明，基于换算截面法计算得到的挠度远小于组合梁的实际挠度，且没有考虑疲劳加载周期的影响，导致计算结果不安全。文中所提方法考虑了疲劳荷载的影响，计算结果与试验结果吻合较好，但未考虑栓钉剪力沿纵向分布不均匀的因素。

通过上述论述，国内外学者对组合梁的变形计算已有深入研究。本研究在前人研究的基础上，通过将组合梁划分节段，引入“非连续传力模型^[8]”，并结合了钢材和混凝土的材料性能退化公式，以及栓钉刚度退化公式，并利用本研究当中推导的残余滑移计算方法，通过公式推导得到组合梁在疲劳加载下的变形公式，包括弹性变形和残余变形，并得到了试验验证。对以后组合梁疲劳试验研究有着深刻的指导意义，能够进一步推进组合梁界面滑移的研究和计算。

1 疲劳荷载下的变形计算 1.1 目前已有计算公式

王宇航通过试验研究^[10]，在承受疲劳荷载作用时，将组合梁的正常使用阶段视为弹性阶段，跨中挠度f定义为疲劳加载次数n的函数，则表达公式如下：

(1)

式中，f为总变形；F为合计；f_r为n次疲劳加载后组合梁的残余变形；f_e为弹性变形(疲劳加载上限值时的静载挠度)，参照折减刚度法^[1]计算，其中弹性模量均采用疲劳弹性模量。

通过大量栓钉疲劳试验研究，文献[11]通过理论研究和计算推导，得出n次加载后组合梁界面残余滑移公式：

(2)

(3)

式中C₁和C₂的计算公式如下：

(4)

(5)

式中，P_{u, 0}为静载承载力；P_min为栓钉承担最小剪切力；P_max为栓钉承担最大剪切力。静载承载力计算公式参考《公路钢结构桥梁设计规范》(JTG D64—2015)^[12]；

根据规范中的滑移公式，并通过力学计算，得到参与挠度表达式^[10]：

(6)

式中，f_r为组合梁n次疲劳加载后的残余挠度；k为折减系数；l为计算跨径；h为梁高。

上述计算公式存在以下3点问题：

(1) 在参数C₁和C₂的计算公式中，栓钉疲劳剪切上下限值沿梁长方向相同，同样，单个栓钉剪应力幅值相同。但是，根据已有的大量试验数据，组合梁梁端栓钉承担剪力大，跨中栓钉承担剪力小。由此，计算公式中栓钉承担剪力与试验结果不一致。

(2) 弹性阶段下跨中挠度计算公式中，只对混凝土弹性模量进行了折减，没有对钢材的弹性模量进行折减。大量试验数据证明^[13-14]，混凝土疲劳作用下损伤不明显，钢材的疲劳损伤较为严重，应对钢材弹性模量进行折减。

(3) 公式中k由试验数据回归得出，只针对个别试验结果，不具有普遍性。

1.2 非连续传力模型计算方法

文献[1]的计算方法和理论能够较好地反映组合梁界面的滑移情况，也能够准确地反映滑移对组合梁挠度的影响。然而在实际工程中，组合梁交界面的传力方式是通过剪力连接件进行传递的，且剪力连接件的布置间距和尺寸大小都会影响组合梁传力效果。一般而言，组合梁梁端剪力分配较大，但随着结构承受荷载的变化，其剪力会进行重新分配，进而导致剪力传递的不连续性。文献[1]的计算方法将剪力连接件的抗剪刚度均匀分布，与实际试验情况不符。在计算公式的参数取值中，栓钉的刚度公式为K=0.66n_sV_u，而此公式为线性刚度公式，不能考虑材料强度的非线性变化和栓钉的疲劳损伤刚度退化的影响。

本研究通过结合非连续传力模型^[8]，并将模型进行改进，将组合梁分为N个节段，详见图 1，对每个节段单独进行受力分析，并引入荷载-滑移公式的非线性计算，对每个节段进行单独求解，计算各个节段的受力大小和节段滑移量。

在组合梁的疲劳加载中，随着结构内部的损伤增加，钢材的材料性能发生了退化。本研究采用损伤力学法^[15]考虑在疲劳荷载作用下的材料性能退化，则n次疲劳加载后钢材的弹性模量表达式如下^[16]：

(7)

式中，Δσ为应力幅值；σ_R为阻尼应力；E_s为弹性模量初始值；m为参数值(m=3.97)。其中阻尼应力σ_R的表达式如下：

(8)

式中，σ_R0为阻尼应力值(σ_R0=6 486.5 MPa)；b为修正系数(b=0.41)；σ_mean为应力均值；σ_u为屈服应力。

在组合梁静载试验和疲劳试验中，梁端和跨中栓钉承担的疲劳荷载幅不相同，所以承担剪力也不同。梁端承担剪力较大，跨中承担剪力较小，通过上述公式，可以精确得出沿梁长方向各排栓钉受力情况，并计算出组合梁各排栓钉承担剪力值和其疲劳寿命与剩余承载力。因为梁端栓钉承担的剪力较大，通常以栓钉剪切破坏的组合梁疲劳破坏都是梁端栓钉被剪断而发生刚度下降，该疲劳破坏形式为延性破坏。

参照钢规^[12]，得到栓钉承载力公式：

(9)

式中，f_c为混凝土的抗压强度；A_s为栓钉抗剪截面面积；f_u为栓钉的抗拉强度。

将得到的栓钉承载力代入材料剩余强度幂指数化模型^[17]，栓钉刚度在疲劳加载时逐渐退化，得到栓钉剩余承载力如下表示：

(10)

式中，P_uⁿ为n次疲劳加载后的静载承载力；P_max为疲劳荷载上限值；N_f为疲劳寿命^[8]；c为材料参数值(c=1.73)。

文献[18]通过大量推出试验，分析了组合梁栓钉的滑移情况，认为P_uⁿ(1-e^αs)^β形式能够很好的表示组合梁界面滑移，本研究则采取的公式为：

(11)

式中，Vⁿ为n次疲劳荷载后栓钉剪力；e为数值2.718 28；s为组合梁界面滑移量。

大量的试验研究表明，在分析组合梁交界面的滑移情况时，通常遵循以下3种原则：(1)组合梁中混凝土和钢梁都满足平截面假定，且两者具有相同的曲率，两者为独立的弹性体。(2)忽略组合梁交界面的掀起作用，认为两弹性体竖向位移一致。(3)对于简支梁，两弹性体在沿梁长方向承担的剪力值一定，且相加为跨中荷载的一半，即。

本研究建立的非连续传力模型，为了分析简支组合梁各个截面的受力情况，在交界面上布置N排栓钉，在集中荷载的作用下，疲劳荷载n次后的受力参数如图 1所示。

模型中参数均为疲劳加载n次下的截面参数。T₀ⁿ为钢梁跨中截面的拉力；C₀ⁿ为混凝土跨中截面的压力；M_s0ⁿ为钢梁跨中截面弯矩；M_c0ⁿ为混凝土板跨中截面弯矩；V_cⁿ和V_sⁿ为两弹性体承担竖向剪力，沿梁长方向一致；V_iⁿ为第i排栓钉的剪力，i=1, 2, 3，…, N。

跨中截面轴向力方向受力平衡：

(12)

组合梁弯矩平衡：

(13)

式中，y_cb为混凝土板中性轴到组合梁界面的距离；y_st为钢梁中性轴到组合梁界面的距离；令d_c=y_cb+y_st, 式(13)可以化简为：

(14)

则根据平截面假定，得到跨中截面曲率：

(15)

式中，ϕ₀ⁿ为n次疲劳加载后跨中截面曲率；I_s1为钢梁顶板的抗弯惯性矩；I_s2为钢梁底板和腹板共同的抗弯惯性矩；I_c为混凝土板的抗弯惯性矩；E_s^f为钢材的疲劳弹性模量。

在上述公式中，钢梁顶板靠近组合梁中性轴，顶板承受的拉压力较小，所以疲劳损伤较小。所以在本研究中，仅考虑组合梁中钢梁底板和腹板的材料疲劳损伤。

在上述非连续传力模型中，节段通过栓钉位置进行划分，如图 2所示。半跨简支梁被分为N个节段，第i个节段长度为l_i，j=0, 1, 2, …, N-1。由图 2所示，d_{i, c}ⁿ为第i节段混凝土绝对位移；d_{i, s}ⁿ为第i节段钢梁绝对位移。第i节段的滑移量则为S_iⁿ=d_{i, c}ⁿ-d_{i, s}ⁿ。

通过对组合梁节段进行受力分析，根据混凝土板和钢梁的受力分析可得：

(16)

(17)

(18)

(19)

式中，T_iⁿ为钢梁第i个节段截面的拉力；C_iⁿ为混凝土第i个节段截面的压力；M_siⁿ为钢梁第i个节段截面弯矩；M_ciⁿ为混凝土板第i个节段截面弯矩；V_cⁿ和V_sⁿ为两弹性体承担竖向剪力，沿梁长方向一致；

由于简支梁边界条件，组合梁梁端仅有竖向力，无水平力和力矩，可知：

(20)

(21)

(22)

(23)

对于轴向受力状态下的弹性体，弹性压缩量仅与弹性体的材料性能、弹性体长度和荷载大小有关，对于极小的微段来说，荷载在微段上是均匀分布的，则组合梁两弹性体的变形公式如下：

(24)

(25)

式中，d_{i, c}ⁿ为混凝土板绝对位移；d_{i, s}ⁿ为钢梁绝对位移；A_s1为工字钢顶板截面面积；A_s2为工字钢腹板和底板截面面积。

将公式(24)，(25)联立：

(26)

已知：S_iⁿ=d_{i, c}ⁿ-d_{i, s}ⁿ  S_i+1ⁿ=d_{i+1, c}ⁿ-d_{i+1, s}ⁿ

疲劳加载n次后，栓钉剩余承载力下降，得到其疲劳寿命公式^[8]：

(27)

注：组合梁沿梁长方向栓钉疲劳寿命逐渐减小。

式中，N_{i, f}为第i排栓钉疲劳寿命；Δt_i静载时第i排栓钉剪应力幅。n次疲劳加载后，代入公式(10), 可得第i排栓钉的剩余承载力：

(28)

式中，P_{i, max}为疲劳荷载上限作用时，第i排栓钉的剪力值；代入公式(11)，得到疲劳加载n次后第i排栓钉剪力值V_iⁿ(V_iⁿ=f(S_iⁿ))。

将上述公式联立，代入公式(26)：

(29)

根据上述公式，每个节段的长度为l_i，在实际工程中，栓钉在钢梁上式均匀分布的，即l_i沿梁长方向相等。所以在本研究的计算模型中，将l_i统一记为dl。

并将公式(29)用下列参数进行替代：

(30)

(31)

(32)

公式(29)化简为：

(33)

由非连续传力模型边界条件可知，跨中截面滑移量为0：

(34)

在上述非连续传力模型中，共包含T₀ⁿ，C₀ⁿ，M_s0ⁿ，M_c0ⁿ，V_sⁿ，V_cⁿ，S_iⁿ(i=0, 1, 2, …N)等N+7个未知量，本计算模型中也包含有N+7个线性无关的方程组，通过将上述公式联立，通过迭代的方式求解，求得n次疲劳加载后的各个节段的滑移量和各排栓钉的承担的剪力值，从而得到组合梁在疲劳作用下的变形情况。

1.3 疲劳荷载作用下变形计算

根据上述公式的进行推导计算，可以求得组合梁在n次疲劳加载后的跨中截面曲率ϕ₀ⁿ。已知截面曲率，可以通过材料力学公式，求得组合梁在疲劳加载下的跨中挠度(弹性挠度)，公式如下：

(35)

将疲劳荷载作用时荷载的上限值和下限值代入非传力模型，代入公式(36)，计算得到跨中钢梁底板的最大应力、最小应力及其应力幅。将Δσ代入公式(7), 可以计算得出n次疲劳加载后，钢材的折减弹性模量。

(36)

经过上述计算，可以得出n次加载后各排栓钉连接件的剪力上下限，并代入公式(2)~(5)中，则可以计算出n次疲劳加载的每个微段的残余滑移量δ_iⁿ。

将残余滑移量δ_iⁿ除以节段长度，即可得到残余滑移应变X_iⁿ：

(37)

并求得附加曲率：

(38)

因为残余应变在各个节段都有变化，而上述公式中残余滑移的量是由节段端部计算得到的，所以相对于实际情况中，附加曲率会略大。所以本研究中将附加曲率进行平均，采用前一个节段和本节段的附加曲率的平均值来代表本节段的附加曲率，并由此求解残余变形：

(39)

通过附加曲率的平均值与节段长度的平方相乘，可以求得该节段残余挠度，公式表示如下：

(40)

通过计算各节段的残余挠度值，并将各个节段的数值相加，跨中残余挠度求解公式表示如下：

(41)

将计算得到的弹性挠度和残余挠度相加，钢-混凝土组合梁n次疲劳加载后的总挠度为：

(42)

2 试验验证 2.1 静载验证

为了验证非传力模型和计算方法的准确性，参考文献[13]的4根组合梁疲劳试验数据分析，采用本研究中的计算方法，对静载试验组合梁的荷载-滑移公式进行对比，并计算了组合梁栓钉滑移和剪应力幅，详细的计算结果见图 3和表 1。

由图 3可以看出，采用本研究公式得到的组合梁滑移量与试验结果较为吻合，采用文献[1]中公式的滑移量远远大于试验值。滑移量是计算组合梁栓钉承担剪力的重要指标，能够较好地估计组合梁栓钉的剪力值，可以更好地判断出组合梁梁端栓钉的疲劳寿命，对试验研究也具有可预测作用。

通过表 1的数据可以得出，通过本研究公式计算的栓钉剪应力幅更能准确预测出组合梁梁端栓钉的疲劳寿命，剪应力幅值与实际试验结果仅相差7.6%, 而文献[1]中公式得到的剪应力幅值较为波动，不能很好反映栓钉剪力幅值。

2.2 疲劳荷载验证

在疲劳作用下，将折减刚度法^[10]的变形计算公式和本研究计算公式作对比，通过分析试验数据结果，得出了两种计算方法下的组合梁跨中弹性挠度，详见表 2。

表 2荷载上限作用下弹性挠度计算值与试验结果对比结果得出，本研究计算公式得到的跨中挠度与实际结果相吻合，能够较好地估计组合梁的变形情况，且本研究公式没有试验回归的拟合参数。节段分析均采用材料力学的分析方法和有限元的思想，计算公式具有一般性。而且本研究公式中，不仅考虑了组合梁钢梁的材料性能退化，也考虑了在栓钉的刚度退化，并体现在组合梁滑移公式中，计算结果较为准确，误差不超过10%。

根据公式(39)~(41)，计算得出组合梁跨中残余挠度，如图 4所示。

由图 4的不同连接程度组合梁残余挠度对比数据可知，组合梁剪力连接程度较高的时候，栓钉疲劳损伤越不明显，说明组合梁剪力连接程度对组合梁疲劳性能有较大影响。在剪力连接程度较低时，梁端栓钉的刚度变化对组合梁整体刚度变化有较大影响；但当组合梁剪力程度较高时，梁端栓钉已不是组合梁刚度变化的主要因素，跨中钢梁的材料性能逐渐成为影响钢梁疲劳性能的主要因素。

3 参数分析

为了进一步分析非连续传力模型和计算公式的适用性，本研究通过参数分析的方法来验证并选取了部分代表参数，如下表示：

疲劳加载次数n，组合梁抗剪连接程度η，本研究计算都采用文献[13]的不同连接程度的截面参数，并代入本研究计算方法，并选取不同的参数分析，计算得出组合梁跨中截面弯矩M_c0ⁿ和轴力C₀ⁿ，各排栓钉承担的剪力值V_iⁿ，各截面沿梁长方向的滑移量S_i，和组合梁疲劳荷载上限作用时跨中挠度f_eⁿ与静载时组合梁跨中挠度f_e⁰之比f_eⁿ/f_e⁰的变化情况，并绘制成曲线图，如图 5所示。

图 5中数据都是依据文献[13]的材料参数和试验参数代入到本研究模型的理论数据，通过对比理论数据结果，来分析各参数随疲劳加载的变化情况，图 5(b)，(c)，(d)，(e)的理论数值都是以组合梁剪力连接程度为1时得到的理论数据。

图 5(a)是不同剪力连接程度的组合梁疲劳荷载上限加载的挠度与静载挠度的比值。从图中数据得出，组合梁跨中挠度随着疲劳加载次数的增多，呈现非线性增长的趋势，当接近组合梁的疲劳寿命时，组合梁跨中挠度增长越快。通过不同剪力连接程度的曲线看出，当连接程度较低时，梁端栓钉接近疲劳寿命时，跨中挠度增长明显。而组合梁抗剪连接程度较高时，组合梁跨中挠度在接近疲劳寿命，变化不明显，且疲劳破坏形式发生转变，由梁端栓钉剪切破坏转变为跨中钢梁疲劳断裂，由延性破坏转换为了脆性破坏。

由图 5(b)数据得出，理论模型中两弹性体受力情况也是随着疲劳加载的进行不断变化的。在以梁端栓钉疲劳剪切破坏形式的疲劳破坏中。组合梁因梁端栓钉疲劳损伤增长较快，发生了组合梁沿梁长方向栓钉剪力重分布。从而导致了组合梁混凝土板和钢梁受力情况发生改变。组合梁各排栓钉承担的剪力和值减小，造成混凝土板和钢梁承担的轴力减小，弯矩增大，进而影响了组合梁的曲率，造成组合梁变形不断增大。可以由此得出，组合梁剪力连接件的刚度退化导致了组合梁变形逐渐增大。

由图 5(c)数据结果可以看出，组合梁随着疲劳加载的进行，组合梁各排栓钉承担的剪力值发生了重分布的现象。初始静载试验中，组合梁梁端栓钉承担剪力值最大，跨中栓钉承担的剪力最小。随着疲劳加载的进行，梁端栓钉承担的剪力值由大变小，跨中栓钉承担的剪力值由小变大。当接近组合梁梁端栓钉疲劳寿命时，梁端栓钉承担的剪力值下降到0值。当梁端栓钉承担的剪力值发生急剧下降时，组合梁梁端交界面发生肉眼可见的分离，会出现较大的空隙。

图 5(d)中各曲线表示的为各排栓钉在疲劳加载n次后承担的剪力值与初始承担剪力的比值。因组合梁在疲劳加载时，组合梁交界面处栓钉发生剪力重分布，呈现出组合梁梁端栓钉随着疲劳加载的进行，承担的剪力呈非线性下降，跨中栓钉承担的剪力呈非线性上升，而1/4跨处栓钉承担的剪力值与初始值基本保持不变。

通过对比图 5(e)和图 5(c)的数据可知，随着疲劳加载的进行，组合梁梁端滑移量不断增大，但是组合梁交界面承担的剪力和值逐渐减小。图 5(e)数据结果表示，跨中截面滑移量随着疲劳加载的进行变化不大，而梁端的滑移量随着疲劳加载的进行呈现指数形式的增大的情况。当梁端栓钉接近疲劳寿命时，组合梁梁端交界面的滑移量增长较快。图 5(f)表示不同连接程度下梁端滑移量，剪力连接程度是组合梁疲劳性能的重要影响因素。

4 结论

(1) 本研究首先通过试验数据验证了组合梁静载下非连续传力模型的准确性，并加以扩展，引入了材料退化公式和组合梁栓钉退化公式，推导得出了在疲劳加载过程中的组合梁变形公式。此公式不仅适用疲劳加载的弹性计算，还适用于疲劳加载后的残余计算。

(2) 本研究计算公式可以求解组合梁梁端栓钉承担的剪力，可以求得组合梁在疲劳加载下的剪应力幅，能够良好的预测梁端栓钉的疲劳寿命，且与试验结果对比较为吻合。

(3) 由参数结果分析可知，因组合梁栓钉刚度的非线性折减，造成了组合梁刚度退化也呈非线性规律。且因为组合梁栓钉沿梁长方向刚度退化规律不同，导致组合梁沿梁长方向栓钉承担剪力出现重分布的现象。梁端栓钉承担剪力由大变小，跨中栓钉承担剪力由小变大。

(4) 通过对比不同连接程度的组合梁疲劳破坏的计算结果和试验结果，剪力连接程度是影响组合梁疲劳寿命的关键因素，对于组合梁刚度和疲劳破坏形式都有很大的影响。