0 引言

在对桥梁健康进行监测时，传感器系统既是监测系统的子系统，又是采集数据的重要工具。复杂桥梁的自由度多，实际测试时考虑到经济效益和技术实现等因素，不可能在桥梁的每一个自由度都布置传感器。如何安排有限数量的传感器来实现对结构状态改变信息的最优采集，成为了复杂桥梁健康监测的关键技术之一^[1]。一种好的传感器布设方案能够在含噪音的环境中，利用尽可能少的传感器，获取全面、精确的结构参数信息^[2]。

目前在基于动力性能的传感器优化布置理论方面，主要有灵敏度系数法、有效独立法(EI)、模态动能法(MKE)^[3-4]、奇异值分解法^[5]、遗传算法^[6]等几种方法，但是任何单一方法都存在自身的缺陷和不足。基于传感器优化布置理论的单一解法，杨雅勋等提出了基于能量系数-有效独立法的传感器优化布置方法^[7]；Castro-Triguero用基于Fisher信息矩阵和能量矩阵秩优化的方法研究了桁架桥结构参数对传感器布置结果的影响^[8]；LI讨论了EI法和MKE法之间的内在联系，认为前者可以通过对后者迭代得到^[9]；桂成中提出了基于模态分量加和法和差分法对传感器布置进行优化的方法^[10]；孙晓丹等以灵敏度分析理论为基础，进行了多类型的传感器优化布置^[11-12]；ZHOU等将萤火虫算法用于传感器的优化布置，并通过对编码方式进行改进，得到了萤火虫算法解决离散优化问题的解法^[13-15]；人工蜂群算法、遗传算法等在传感器优化布置问题中也有所应用^[16-20]；李世龙针对复杂结构损伤识别传感器布置问题，提出了一种多目标传感器优化布置方法^[21]。

采用本研究提出的算法及模态数目的选取方法对某简支桁架桥工程和斜拉桥进行传感器优化布置，通过最小均方差准则等评价方法来评价不同的桥梁结构传感器优化布置方案。

1 传统优化算法 1.1 有效独立法

有效独立法^[22-25]的主要思想以所有待测数据的自由度为初始数据，数据的处理过程是将对目标模态振型向量线性无关贡献最小的自由度消除，来得到优化后的最大有效程度的参数信息，以保证优化布置后的传感器尽量保留有效的所需参数信息。根据模态叠加原理，可以将传感器的输出信息y_s表示为：

(1)

式中，Φ为模态振型矩阵；q为模态振型坐标向量；ω为方差σ²的静态高斯白噪声。认为获得真实广义坐标的过程为无偏估计，那么可以得到此无偏估计偏差协方差矩阵J为：

(2)

式中，Q表示Fisher信息矩阵, 那么当真实广义坐标是最佳估计时有协方差矩阵最小化并且Q最大化, 即有，传感器得到的信息噪声是独立的，即得出A₀便可以代表信息矩阵。构造有效独立分配矩阵:

(3)

式中，Ψ_A为A₀的标准化特征向量；λ为相应的特征值。矩阵E_D的对角线元素表征了相应传感器对模态矩阵的线性不相关的程度。以迭代算法逐渐消除E_D对角线元素最小的监测点，至所需监测点的数目。

1.2 灵敏度系数法

灵敏度系数法^[26-28]通常应用于小阻尼结构中，认为发生损伤时，结构参数中仅刚度特性发生变化，而阻尼和质量特性均不变。n个自由度的动力系统刚度发生微小变化时，若不考虑阻尼特性的变化，振动控制方程为：

(4)

式中，K为结构刚度；M为结构质量矩阵；λ_i和Φ_i表示振动方程的特征值和振型向量。可以将振型向量变化ΔΦ_i表示为待优化监测点模态的线性组合：

(5)

式中，d_ij是权重系数。考虑振型向量的垂直特性，联立式(4)、(5)可以得到：模态阶数为r时，当i≠r有:

(6)

当i=r认为损伤引起的结构刚度的变化即为损伤单元的刚度的线性叠加，即，式中：Δa_j是损伤向量系数；K_j是第j个单元刚度矩阵。则有

(7)

式中，S_i为第i阶模态损伤灵敏度系数，S_i=表示损伤单位向量。得到基于灵敏度系数的监测矩阵为:

(8)

Q_S反映了结构各单位对结构损伤的灵敏度。上述方法(即灵敏度系数法)以有限的模态数目解决了损伤结构下选择传感器布置测点的问题，其局限性是要求测试模态对结构损伤具有足够的灵敏度。

2 评价准则

(1) 模态置信准则^[29-30](MAC准则)

在进行传感器优化布置时要尽量选择那些拥有较大的空间夹角的测点以尽量保存模态信息。评价各阶振型在其自由度上形成的MAC阵的非对角元素值的幅值，即可评价其对应模态矢量的空间相位，其公式为：

(9)

式中, Φⁱ、Φ^j分别表示第i阶和第j阶振型矢量。2个向量之间的耦合程度越高，MAC阵中对应的非对角元素越趋近于1，反之越趋近于0。通常可以认为此评价值大于0.9时2个模态线性相关；评价值小于0.25时2个模态相互垂直。

(2) 最小均方差准则^[31-32]

用有限元模型分析得到的自由度位移值和优化后传感器扩展自由度所得的位移值做差，求出误差的总均方差，然后按总均方差的大小评价传感器优化布置方案，其公式为:

(10)

式中, N为模态阶数；n为模态误差测试点数；σ_j是第j阶模态的标准差；Φ_ij^CS为第j阶第i个误差测试点的扩展模态值；Φ_ij^FE为第j阶第i个误差测试点的有限元计算模态值。

3 基于模态贴近度选取模态数目

结构共有n阶模态振型向量Φ_i(1≤i≤n)，其二范数为‖Φ‖₂，定义2个相邻模态振型向量二范数差的绝对值为模态贴近度，即:

(11)

因为可以用范数来度量矩阵之间的距离，所以认为Δħ小到一定程度时2种模态优化后的结果是相似的，那么只需保留其中一个模态作为传感器优化的参与振型，并将其继续与下一个模态进行对比，直到达到优化要求。

4 基于灵敏度-有效独立法的传感器优化布置算法

根据模态叠加原理，含有损伤信息的传感器输出信息y_d可以表示如下：

(12)

式中, Φ为有限元模态振型按测点缩减后的模态矩阵；ΔΦ为结构损伤引起的振型变化，可以用灵敏度系数法中的刚度变化表征振型变化，即ΔΦ_i=δ_iS_i；ω是方差为σ²的静态高斯白噪声，即式(10)写为:

(13)

矩阵形式：y_d=(Φ  S)(q  βq)^T+ω，

式中，β=diag(δ₁, δ₁, …, δ₁)，令Λ=(Φ  S)，p=(q  βq)^T，则式(12)可以写成:

(14)

当监测传感器数目的信息线性不相关时，可以用此类监测信息来评估动力系统其他部位的信息响应。构造Fisher信息矩阵Q_r，当Q_r最大时，可以得到p的最小二乘估计，即为p的最佳估计。由此可得出，真实广义坐标估计偏差的协方差矩阵J由式(15)给出：

(15)

其中：。由此即可得到Fisher信息矩阵Q_r=ΛΛ^T，信息矩阵构造既考虑综合考虑了监测模态可观测性，又兼顾了动力系统损伤可识别性，同时构造其有效独立矩阵E_DΛ=Λ[Λ^TΛ]^－1Λ^T。易知E_DΛ为等幂矩阵，于是得到有效独立矩阵E_DA特征值为1或0。

于是可以得到基于灵敏度-有效独立法的传感器布置优化流程，如图 1所示。

5 简支桁架桥工程实例

某铁路简支桁架桥节点示意图如图 2所示，上弦杆截面积为107.4 cm²，腹杆截面积为84.64 cm²，下弦杆截面面积为119.4 cm²，上下弦杆及5 m，直腹杆长7 m，水平连接杆长9 m。弹性模量2.06×10 ⁸ kN/m²，杆件重度为7 850 kg/m³，共由24个连接点和54个杆件组成。以该工程为实例，比较本研究提出的算法与有效独立法和灵敏度系数法，验证算法有效性。

5.1 模态分析及振型选取

提取有限元模型前40阶模态振型向量，采用MATLAB软件计算各阶模态振型矩阵的模态贴近度，结果如图 3所示。由图 3可知，模态贴近度在第8次做差之后差值即趋于0，因此选取前8阶作为传感器优化布置的计算模态数。前8阶模态的频率和振型如图 4所示。

5.2 传感器优化布置方案

选取前8阶振型作为优化模态，将有效独立法、灵敏度系数法和本研究提出的灵敏度-有效独立法优化后的测点布置传感器优先顺序部分结果总结在表 1。

比较上述3种监测点自由度的优选顺序结果可知，本研究提出的灵敏度-有效独立法最多地将监测点布置于跨中节点，与动力系统结构的实际情况更为接近。假设传感器数量为10个时，优化后的测点布置如图 5所示。

5.3 结果评价

对上述3种传感器优化布置算法采用常用2种评价准则(MAC和最小均方差准则)对其优化结果进行评价。

(1) 模态保证准则(MAC)

通过计算可以得到MAC均值。其中本研究算法得到的MAC均值为0.072 13，有效独立法为0.083 55，灵敏度系数法为0.173 59，结果如图 6所示。

由上述结果可知，采用本研究提出的算法得到的MAC均值相比于其他两种方法更小，说明本研究方法能够较好地保留动力结构的模态信息。

(2) 最小均方差准则

对3种优化布置的自由度进行3次样条插值，然后与有限元素的模态振型进行对比，得出相互之间的均方差。3种算法扩阶后的均方差见图 7，总均方差比较见图 8。易知，本研究提出的优化布置算法得出单个模态振型还或整体模态振型的均方差，都比其他2种算法的传感器扩阶后的小。

5.4 模态数目选取方法评价

目前在动力系统结构传感器布置研究时，依据经验选取前5阶模态振型进行优化布置。为了与传统算法进行比较，本研究提出的灵敏度-有效独立法分别选取5阶、8阶、10阶、20阶模态振型进行优化布置，并采用MAC和最小均方差准则对选取监测模态点进行评价。

选取不同阶数的模态进行传感器优化布置，部分结果见表 2，由于前20阶结果与前10阶结果一致，因此未列出20阶模态传感器布置结果。从表 2易知，采用前5阶模态与前8阶模态进行优化布置，结果差异性较大，而采用前8阶模态与采用前10阶模态进行传感器布置，结果基本相同。这说明基于模态贴进度选取模态数目的方法基本不会丢失模态信息，并且能够以尽量少的模态数目达到与较多模态数目同样的结果。

由图 9及图 10结果可知，随着选取模态阶数的增加，MAC均值呈现不断下降的趋势，但是幅度并不明显；前8阶优化结果的总均方差明显小于前5阶总均方差，而前10阶和前20阶总均方差相对于前8阶总均方差下降变化速率基本为0，即相对下降不明显。

因此可以认为本研究提出的基于模态贴近度选取模态数目的方法能够较好地保存模态信息，完成传感器的优化布置。

5.5 传感器数目影响分析

为研究传感器数目对本研究方法精度的影响，以上述铁路钢桁架为例，分别以传感器数目为6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20为控制值，进行传感器优化布置。分析不同传感器数目下的MAC矩阵中的最大的非对角元素值，统计值见图 11。

从图 11可以看出，对于不同数目的传感器，MAC矩阵的最大值不同，总体表现出随着传感器数目增多，最大值不断下降，后面随传感器数目增多，但最大值没有太大变化。在传感器数目为10与12左右出现最小值。从经济性角度来看，虽然布置足够多的传感器，可以获得更多的信息，但经济性不强。故本研究综合以上，选择布置10个传感器。

6 矮塔斜拉桥工程实例

某矮塔斜拉桥示意图如图 12所示。主桥为非对称独塔斜拉桥结构，采用半漂浮体系。全桥含牛腿共长244.4 m，跨径布置为(151.1+91.1)m，边主跨比0.6。主跨为钢梁-UHPC薄层轻型组合梁，边跨为混凝土箱梁。桥塔为钢结构，左塔高105.12 m，右塔高120.12 m，距离塔底90.12 m设置钢横梁。主塔设置牛腿，主梁通过支座支承在桥塔牛腿上。主桥梁段也设置牛腿，利用现浇板梁重量进行压重处理。

6.1 模态分析及振型选取

参考工程实例1的铁路桁架桥，提取有限元模型前40阶的模态振型向量，计算各阶模态振型矩阵的模态贴近度，结果如图 13所示。模态贴近度在第10次之后差值即趋于0，选取前10阶模态作为传感器优化布置的计算模态数。此矮塔斜拉桥的前10阶频率和振型如图 13所示。

6.2 传感器优化布置方案

选取前10阶振型作为优化模态，全桥主梁共248个候选布置节点，节点号纵桥向方向从小到大排列。将有效独立法、灵敏度系数法和本研究提出的灵敏度-有效独立法优化后的测点布置传感器优先顺序部分结果总结在表 3。需要说明的是，由于纵桥向是相比于横桥向和竖桥向变形更重要的方向，因此为作简化仅采用纵桥向布置单一方向传感器。

本研究算法优化传感器布置方案见图 14所示。

6.3 结果评价

使用MAC准则和最小均方差准则对不同算法的布置方案效果进行评价。

(1) 模态保证准则(MAC)

通过计算可以得到MAC均值。其中本研究算法得到的MAC均值为0.103 55，有效独立法为0.072 3，灵敏度系数法为0.072 13，结果见图 15所示。

(2) 最小均方差准则

按照同样的均方差计算方法对3种优化布置方案的自由度进行三次样条插值，然后与有限元素的模态振型进行对比，得出相互之间的均方差。

3种算法扩阶后的均方差见图 16，总均方差比较见图 17。易知，本研究提出的优化布置算法得出单个模态振型还或整体模态振型的均方差，都比其他2种算法的传感器扩阶后的小。

可知本研究优化算法得到的均方差相比其他2种方法更小，说明本研究方法与该有限元模型结果拟合更好，并且传感器得到的模态信息能够客观反映结构参数信息。通过2种准则对传感器优化布置方案的评价，验证了本研究提出的方法可以满足使用较少传感器预测未知的模态参数信息。

7 结论

本研究提出了一种兼顾模态可观测性和损伤可识别性的传感器优化算法，同时进行了实例数值验证。本研究的主要结论如下：

(1) 在传统传感器优化布置方法的基础上，提出了灵敏度-有效独立法的传感器优化布置算法，即通过用结构损伤变化的灵敏度系数来校正有效独立法。此方法既考虑了模态的可观测性，又应用到损伤的可识别性，通过矢量运算将两者结合，进一步优化了桥梁结构传感器布置方案。

(2) 探讨了桥梁动力系统结构模态数目选取问题，提出了基于模态贴近度的方法，规避了以往依赖经验解决的问题，更加直观和简便。

(3) 通过MAC和最小均方差准则对不同方法进行评估，本研究算法优于其他2种，该方法优化后的结果既能保证振型矢量的垂直，又具有良好的延展性能。

(4) 本研究只是针对原有方法的改进，重点分析了该方法的适用性，与其他方法对比说明该方法的优点，不足之处是没有考虑测量误差对优化算法的影响。